重温线性代数-程序员宅基地

技术标签: 矩阵  线性代数  数学纵横  

前言

对于普通的数学工作者而言,掌握矩阵、线性空间的基本性质和用法比领会抽象的概念更实用。数学专业的同学需要全面深入学习近世代数的理论和演绎法则,例如模的概念和运算。
总之,我个人认为,不论是微积分、还是线性代数,或者是统计学,多从有形的例子着手,学习最核心最实用的部分,辅以一定数量的习题练习,是一种有效的学习方法。

向量空间->线性变换->线性变换的表示:矩阵

矩阵是二维的,二维相对于三维以及更高维有什么特殊性吗?为什么我们更多地在研究矩阵,而不是更高维张量?

什么是线性代数?

近世代数的主要内容是集合及这些集合上的代数运算。这个代数运算主要是加法和数乘(注意这里不叫乘法)。加法和数乘都具有线性特征,所以这种代数就叫线性代数。

研究代数结构的性质就是近世代数的内容与任务。主要的代数结构有:群、环、体、域、模等。

线性代数是研究线性空间(向量空间)、模和其上的线性变换以及与
之有关的问题(如线性、双线性、二次函数等)的数学学科

线性代数的核心思想

任何一个n维空间中的元素,都可以通过一个向量 ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) (x_1, x_2, ...,x_n) (x1,x2,...,xn)来定位,或者说n维空间中每个点,都有一个坐标。有的书上也把这种n维空间叫向量空间。

矩阵是什么?以下几种理解都是正确的:

  • 一个矩阵可以表示从n维空间到m维空间的线性变换,或者叫映射
  • 一个矩阵对应了一个运动
  • 一个矩阵对应了一个坐标系。因为运动既可以看成是点的运动,也可以看成是坐标系的运动。如果选取了某个坐标系作为标准坐标系(或者叫参照坐标系),那其它坐标系的基就可以表示成这个参照系的线性组合,也就是每个基对应一个向量,那所有基的坐标就构成了一个矩阵。

所以,一个矩阵乘以一个向量: A ∗ x A*x Ax 就是把一个向量映射到一个新的向量。这个矩阵的每一行对应的是新的坐标系的基的坐标。为什么矩阵乘法定义为向量内积的方式?因为内积代表着新的向量在旧的向量上的投影。

这里需要举个例子才能说得更明白。

基本概念

向量空间,基,维数,坐标。线性变换。
特征值,特征向量,行列式,trace。

矩阵的乘法

为何按照行乘列的方式定义矩阵乘法,而不是对应元素的相乘?
因为矩阵乘法表示为运动的复合,要达到这个目的,唯有按行列相乘的方式定义方可。它的本质是投影和分解。

最典型的例子就是仿射变换。它包括平移、旋转、放缩、剪切、反射。平面上的每个仿射变换可以表示为一个3x3矩阵,多个矩阵的乘积代表多个变换的复合。

基本性质

  • 行列式为0 = 不满秩 = 不可逆
  • 行列式等于特征值的乘积
  • 二维矩阵的行列式等于平行四边形的面积,三维矩阵的行列式对应的是平行六面体的体积…更高维度上也可以延伸出同样的类似于“体积”的定义。
  • 对称矩阵的特征向量相互之间正交
  • 矩阵的迹(trace)等于特征值之和

特征值和特征向量

特征值与特征向量是矩阵的精妙之处

一个矩阵可由它的所有特征向量完全表示,而每一个向量所对应的特征值,就代表了矩阵在这一向量上的贡献率,叫振幅或能量。

特征值与特征向量绝不像我们在数学书本上看到的那么单调,它蕴含丰富,在图像处理、物理,材料,力学上都有很好的应用。

图像A和图像B的相似程度可以用A和B的特征向量的距离来度量。在谱系图论中,一个图的特征值定义为图的邻接矩阵A的特征值,或者(更多的是)图的拉普拉斯算子矩阵。

著名的图像处理中的PCA方法,选取特征值最高的k个特征向量来表示一个矩阵,从而达到降维分析+特征显示的方法,还有图像压缩的K-L变换。K-L变换是图象分析与模式识别中的重要工具,用于特征抽取,降低特征数据的维数。

还有MIT-Media Lab基于特征脸的人脸识别方法,数据流模式挖掘分析等方面。
有振动的地方就有特征值和特征向量。

如果把全球的网页链接做成邻接矩阵,那么特征向量就是pagerank,就是对全球网页的一种结构描述。

矩阵的相似

相似矩阵是同一个线性映射,在不同基下的表达形式。
(Jordan)任何复方阵比相似于分块对角阵

矩阵的计算

矩阵的分解可以简化矩阵的运算。

  • A 有n 个相异的特征值, 则A 可对角化。
  • 任何n阶酉方阵可以分解为一个酉方阵乘以一个上三角阵

处理矩阵问题方法尽管多种多样,但关键的基本方法有六个,它门是:
第一,矩阵分块的方法;
第二,初等变换的方法;
第三,降阶与升阶的方法;
第四,运用标准单位向最的方法;
第五,运用特征值的方法;
第六,运用矩阵标准形的方法。
这六者之中,核心的思想方法是降阶法。

书籍推荐

  • 线性代数五讲
  • 线性代数方法导引-屠伯埙
  • 高等代数-屠伯埙: 我本科时的线性代数教材,屠伯埙亲自指导上课。
版权声明:本文为博主原创文章,遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议,转载请附上原文出处链接和本声明。
本文链接:https://blog.csdn.net/jgku/article/details/128783997

智能推荐

分布式光纤传感器的全球与中国市场2022-2028年:技术、参与者、趋势、市场规模及占有率研究报告_预计2026年中国分布式传感器市场规模有多大-程序员宅基地

文章浏览阅读3.2k次。本文研究全球与中国市场分布式光纤传感器的发展现状及未来发展趋势,分别从生产和消费的角度分析分布式光纤传感器的主要生产地区、主要消费地区以及主要的生产商。重点分析全球与中国市场的主要厂商产品特点、产品规格、不同规格产品的价格、产量、产值及全球和中国市场主要生产商的市场份额。主要生产商包括:FISO TechnologiesBrugg KabelSensor HighwayOmnisensAFL GlobalQinetiQ GroupLockheed MartinOSENSA Innovati_预计2026年中国分布式传感器市场规模有多大

07_08 常用组合逻辑电路结构——为IC设计的延时估计铺垫_基4布斯算法代码-程序员宅基地

文章浏览阅读1.1k次,点赞2次,收藏12次。常用组合逻辑电路结构——为IC设计的延时估计铺垫学习目的:估计模块间的delay,确保写的代码的timing 综合能给到多少HZ,以满足需求!_基4布斯算法代码

OpenAI Manager助手(基于SpringBoot和Vue)_chatgpt网页版-程序员宅基地

文章浏览阅读3.3k次,点赞3次,收藏5次。OpenAI Manager助手(基于SpringBoot和Vue)_chatgpt网页版

关于美国计算机奥赛USACO,你想知道的都在这_usaco可以多次提交吗-程序员宅基地

文章浏览阅读2.2k次。USACO自1992年举办,到目前为止已经举办了27届,目的是为了帮助美国信息学国家队选拔IOI的队员,目前逐渐发展为全球热门的线上赛事,成为美国大学申请条件下,含金量相当高的官方竞赛。USACO的比赛成绩可以助力计算机专业留学,越来越多的学生进入了康奈尔,麻省理工,普林斯顿,哈佛和耶鲁等大学,这些同学的共同点是他们都参加了美国计算机科学竞赛(USACO),并且取得过非常好的成绩。适合参赛人群USACO适合国内在读学生有意向申请美国大学的或者想锻炼自己编程能力的同学,高三学生也可以参加12月的第_usaco可以多次提交吗

MySQL存储过程和自定义函数_mysql自定义函数和存储过程-程序员宅基地

文章浏览阅读394次。1.1 存储程序1.2 创建存储过程1.3 创建自定义函数1.3.1 示例1.4 自定义函数和存储过程的区别1.5 变量的使用1.6 定义条件和处理程序1.6.1 定义条件1.6.1.1 示例1.6.2 定义处理程序1.6.2.1 示例1.7 光标的使用1.7.1 声明光标1.7.2 打开光标1.7.3 使用光标1.7.4 关闭光标1.8 流程控制的使用1.8.1 IF语句1.8.2 CASE语句1.8.3 LOOP语句1.8.4 LEAVE语句1.8.5 ITERATE语句1.8.6 REPEAT语句。_mysql自定义函数和存储过程

半导体基础知识与PN结_本征半导体电流为0-程序员宅基地

文章浏览阅读188次。半导体二极管——集成电路最小组成单元。_本征半导体电流为0

随便推点

【Unity3d Shader】水面和岩浆效果_unity 岩浆shader-程序员宅基地

文章浏览阅读2.8k次,点赞3次,收藏18次。游戏水面特效实现方式太多。咱们这边介绍的是一最简单的UV动画(无顶点位移),整个mesh由4个顶点构成。实现了水面效果(左图),不动代码稍微修改下参数和贴图可以实现岩浆效果(右图)。有要思路是1,uv按时间去做正弦波移动2,在1的基础上加个凹凸图混合uv3,在1、2的基础上加个水流方向4,加上对雾效的支持,如没必要请自行删除雾效代码(把包含fog的几行代码删除)S..._unity 岩浆shader

广义线性模型——Logistic回归模型(1)_广义线性回归模型-程序员宅基地

文章浏览阅读5k次。广义线性模型是线性模型的扩展,它通过连接函数建立响应变量的数学期望值与线性组合的预测变量之间的关系。广义线性模型拟合的形式为:其中g(μY)是条件均值的函数(称为连接函数)。另外,你可放松Y为正态分布的假设,改为Y 服从指数分布族中的一种分布即可。设定好连接函数和概率分布后,便可以通过最大似然估计的多次迭代推导出各参数值。在大部分情况下,线性模型就可以通过一系列连续型或类别型预测变量来预测正态分布的响应变量的工作。但是,有时候我们要进行非正态因变量的分析,例如:(1)类别型.._广义线性回归模型

HTML+CSS大作业 环境网页设计与实现(垃圾分类) web前端开发技术 web课程设计 网页规划与设计_垃圾分类网页设计目标怎么写-程序员宅基地

文章浏览阅读69次。环境保护、 保护地球、 校园环保、垃圾分类、绿色家园、等网站的设计与制作。 总结了一些学生网页制作的经验:一般的网页需要融入以下知识点:div+css布局、浮动、定位、高级css、表格、表单及验证、js轮播图、音频 视频 Flash的应用、ul li、下拉导航栏、鼠标划过效果等知识点,网页的风格主题也很全面:如爱好、风景、校园、美食、动漫、游戏、咖啡、音乐、家乡、电影、名人、商城以及个人主页等主题,学生、新手可参考下方页面的布局和设计和HTML源码(有用点赞△) 一套A+的网_垃圾分类网页设计目标怎么写

C# .Net 发布后,把dll全部放在一个文件夹中,让软件目录更整洁_.net dll 全局目录-程序员宅基地

文章浏览阅读614次,点赞7次,收藏11次。之前找到一个修改 exe 中 DLL地址 的方法, 不太好使,虽然能正确启动, 但无法改变 exe 的工作目录,这就影响了.Net 中很多获取 exe 执行目录来拼接的地址 ( 相对路径 ),比如 wwwroot 和 代码中相对目录还有一些复制到目录的普通文件 等等,它们的地址都会指向原来 exe 的目录, 而不是自定义的 “lib” 目录,根本原因就是没有修改 exe 的工作目录这次来搞一个启动程序,把 .net 的所有东西都放在一个文件夹,在文件夹同级的目录制作一个 exe._.net dll 全局目录

BRIEF特征点描述算法_breif description calculation 特征点-程序员宅基地

文章浏览阅读1.5k次。本文为转载,原博客地址:http://blog.csdn.net/hujingshuang/article/details/46910259简介 BRIEF是2010年的一篇名为《BRIEF:Binary Robust Independent Elementary Features》的文章中提出,BRIEF是对已检测到的特征点进行描述,它是一种二进制编码的描述子,摈弃了利用区域灰度..._breif description calculation 特征点

房屋租赁管理系统的设计和实现,SpringBoot计算机毕业设计论文_基于spring boot的房屋租赁系统论文-程序员宅基地

文章浏览阅读4.1k次,点赞21次,收藏79次。本文是《基于SpringBoot的房屋租赁管理系统》的配套原创说明文档,可以给应届毕业生提供格式撰写参考,也可以给开发类似系统的朋友们提供功能业务设计思路。_基于spring boot的房屋租赁系统论文