技术标签: python 矩阵 机器学习数学基础 线性代数 深度学习 numpy
Anaconda 3 + Python 3.6.5 + Jupyter
import numpy as np
import copy
from numpy.linalg import inv
定义:在n阶行列式,把 ( i , j ) \;(i,j)\; (i,j)元 a i j \;a_{ij}\; aij所在的第i行和第j列划去后,留下来的n-1阶行列式叫做 ( i , j ) \;(i,j)\; (i,j)元 a i j \;a_{ij}\; aij的余子式,记作 M i j \;M_{ij}\; Mij 。
A i j = ( − 1 ) i + j M i j A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} Aij=(−1)i+jMij 叫做 ( i , j ) (i,j) (i,j)元 a i j a_{ij} aij的代数余子式
M i j = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 j − 1 a i j + 1 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 j − 1 a 2 j + 1 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a i − 1 1 a i − 1 2 ⋯ a i − 1 j − 1 a i − 1 j + 1 ⋯ a i − 1 n a i + 1 1 a i + 1 2 ⋯ a i + 1 j − 1 a i + 1 j + 1 ⋯ a i + 1 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m j − 1 a m j + 1 ⋯ a m n ∣ A i j = ( − 1 ) i + j M i j \bf M_{ij} = \begin{vmatrix} {a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1\;j-1}} & {a_{i\;j+1}} & {\cdots} & {a_{1n}}\\ {a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2\;j-1}} & {a_{2\;j+1}} & {\cdots} & {a_{2n}}\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ {a_{i-1\;1}} & {a_{i-1\;2}} & {\cdots} & {a_{i-1\;j-1}} & {a_{i-1\;j+1}} & {\cdots} & {a_{i-1n}}\\ {a_{i+1\;1}} & {a_{i+1\;2}} & {\cdots} & {a_{i+1\;j-1}} & {a_{i+1\;j+1}} & {\cdots} & {a_{i+1n}}\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ {a_{m1}} & {a_{m2}} & {\cdots} & {a_{m\;j-1}} & {a_{m\;j+1}} & {\cdots} & {a_{mn}}\\ \end{vmatrix}\;\;\;\;A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} Mij=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮ai−11ai+11⋮am1a12a22⋮ai−12ai+12⋮am2⋯⋯⋯⋯⋯a1j−1a2j−1⋮ai−1j−1ai+1j−1⋮amj−1aij+1a2j+1⋮ai−1j+1ai+1j+1⋮amj+1⋯⋯⋯⋯⋯a1na2n⋮ai−1nai+1n⋮amn∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Aij=(−1)i+jMij
先求出给定矩阵的余子式,即去除指定的行和列,然后根据公式求出代数余子式。
|
变量说明:
- M:原始矩阵
- index:指定元素的索引,长度为2的向量
- temp:M中的每个行向量
- det():求行列式的函数
思路:
创建一个n-1阶的方阵(result)用于存放最后结果
通过遍历向result中按行赋值:
先判断是否为要消去的一行,如果是跳过本次循环
遍历原矩阵并取出其中的行向量
将行向量切片,以index[0]为界限且不包含index[0]
将两个一位矩阵片段拼接并对应放入result中
返回result行列式的值
def cof(M,index):
result = np.zeros((M.shape[0]-1,M.shape[1]-1))
for i in range(M.shape[0]):
temp = copy.deepcopy(M[i])
if i==index[0]-1:
continue
if i >= index[0]:
Ri = i-1
else:
Ri = i
result[Ri] = np.append(temp[:index[1]-1],temp[index[1]:])
return det(result)
- 首先按照index的两个值作为x、y轴,对矩阵进行切片,将原始矩阵分为左上、右上、左下、右下四个矩阵
- 利用numpy.concatenate()函数对四个矩阵进行拼接:
- numpy.concatenate()有两个参数,第一个参数是矩阵列表,是要拼接的矩阵;第二个参数axis,axis=1表示对应行的数组进行拼接,axis=0表示对对应列进行拼接,默认为0
- 首先将左上、右上两个矩阵按行拼接组成结果矩阵的上半部分
- 同理求出结果矩阵的下半部分
- 最后将result的上下两部分按列拼接,返回result的行列式的值
def cof1(M,index):
zs = M[:index[0]-1,:index[1]-1]
ys = M[:index[0]-1,index[1]:]
zx = M[index[0]:,:index[1]-1]
yx = M[index[0]:,index[1]:]
s = np.concatenate((zs,ys),axis=1)
x = np.concatenate((zx,yx),axis=1)
return det(np.concatenate((s,x),axis=0))
def alcof(M,index):
return pow(-1,index[0]+index[1])*cof(M,index)
a d j ( C ) = [ A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n ] A i j 是 C i j 的 代 数 余 子 式 adj(\bf C) = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2}\\ \vdots & \vdots && \vdots\\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}\\ \end{bmatrix} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;A_{ij}是C_{ij}的代数余子式 adj(C)=⎣⎢⎢⎢⎡A11A12⋮A1nA21A22⋮A2n⋯⋯⋯An1An2⋮Ann⎦⎥⎥⎥⎤Aij是Cij的代数余子式
称为C的伴随矩阵,简称伴随阵,记作 C ∗ 。 C^*。 C∗。
伴随矩阵满足:
- A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E AA^* = A^*A = \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}E AA∗=A∗A=∣∣A∣∣E
思路:
- 创建一个与原始矩阵形状相同的矩阵result
- 通过向result中填充数据
def adj(M):
result = np.zeros((M.shape[0],M.shape[1]))
for i in range(1,M.shape[0]+1):
for j in range(1,M.shape[1]+1):
result[j-1][i-1] = alcof(copy.deepcopy(M),[i,j])
return result
A B = B A = E \bf AB=BA=E AB=BA=E
A的逆记作 A − 1 \bf A^{-1} A−1
定理1:若矩阵A可逆,则 ∣ A ∣ ≠ 0 \bf \begin{vmatrix} A\end{vmatrix} \neq 0 ∣∣A∣∣=0
定理2:若 ∣ A ∣ ≠ 0 \bf \begin{vmatrix} A\end{vmatrix} \neq 0 ∣∣A∣∣=0,则A可逆,且:
A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ \bf A^{-1} = \frac{1}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}A^* A−1=∣∣A∣∣1A∗
def invmat(M):
if det(M)!=0:
return 1/det(M)*adj(M)
else:
print(原始矩阵不能为0)
from numpy.linalg import inv
M = np.array([[1,2,-1],[2,3,4],[3,1,2]])
print(inv(M))
print(invmat(M))
文章浏览阅读451次。dev/mem: 物理内存的全镜像。可以用来访问物理内存。/dev/kmem: kernel看到的虚拟内存的全镜像。可以用来访问kernel的内容。调试嵌入式Linux内核时,可能需要查看某个内核变量的值。/dev/kmem正好提供了访问内核虚拟内存的途径。现在的内核大都默认禁用了/dev/kmem,打开的方法是在 make menuconfig中选中 device drivers --> ..._dev/mem 源码实现
文章浏览阅读7.1k次,点赞2次,收藏19次。vxe-table,一个小众但功能齐全并支持excel操作的vue表格组件_vxe-table
文章浏览阅读62次。参考:http://www.ruanyifeng.com/blog/2016/01/babel.htmlBabelBabel是一个广泛使用的转码器,可以将ES6代码转为ES5代码,从而在现有环境执行// 转码前input.map(item => item + 1);// 转码后input.map(function (item) { return item..._让开发环境支持bable
文章浏览阅读2.8k次,点赞6次,收藏29次。摘要:FPGA视频处理FIFO的典型应用,视频输入FIFO的作用,视频输出FIFO的作用,视频数据跨时钟域FIFO,视频缩放FIFO的作用_fpga 频分复用 视频
文章浏览阅读575次。【代码】R语言:设置工作路径为当前文件存储路径。_r语言设置工作目录到目标文件夹
文章浏览阅读452次。格式:background: linear-gradient(direction, color-stop1, color-stop2, ...);<linear-gradient> = linear-gradient([ [ <angle> | to <side-or-corner>] ,]? &l..._background线性渐变
文章浏览阅读1k次,点赞26次,收藏8次。第十三届蓝桥杯青少年组python编程省赛真题一、题目要求(注:input()输入函数的括号中不允许添加任何信息)1、编程实现给定一个正整数N,输出正整数N中各数位最大的那个数字。例如:N=132,则输出3。2、输入输出输入描述:只有一行,输入一个正整数N输出描述:只有一行,输出正整数N中各数位最大的那个数字输入样例:
文章浏览阅读2.2k次。一个网络协议主要由以下三个要素组成:1.语法数据与控制信息的结构或格式,包括数据的组织方式、编码方式、信号电平的表示方式等。2.语义即需要发出何种控制信息,完成何种动作,以及做出何种应答,以实现数据交换的协调和差错处理。3.时序即事件实现顺序的详细说明,以实现速率匹配和排序。不完整理解:语法表示长什么样,语义表示能干什么,时序表示排序。转载于:https://blog.51cto.com/98..._网络协议三要素csdn
文章浏览阅读153次。主要的思想,将所有的系统都可以看作两部分,真正的数据log系统和各种各样的query engine所有的一致性由log系统来保证,其他各种query engine不需要考虑一致性,安全性,只需要不停的从log系统来同步数据,如果数据丢失或crash可以从log系统replay来恢复可以看出kafka系统在linkedin中的重要地位,不光是d..._the log: what every software engineer should know about real-time data's uni
文章浏览阅读746次。伟大是熬出来的 目录 前言 引言 时间熬成伟大:领导者要像狼一样坚忍 第一章 内圣外王——领导者的心态修炼 1. 天纵英才的自信心 2. 上天揽月的企图心 3. 誓不回头的决心 4. 宠辱不惊的平常心 5. 换位思考的同理心 6. 激情四射的热心 第二章 日清日高——领导者的高效能修炼 7. 积极主动,想到做到 8. 合理掌控自己的时间和生命 9. 制定目标,马..._当狼拖着受伤的右腿逃生时,右腿会成为前进的阻碍,它会毫不犹豫撕咬断自己的腿, 以
文章浏览阅读285次。在当今的大数据时代,人们对高速度和高带宽的需求越来越大,迫切希望有一种新型产品来作为高性能计算和数据中心的主要传输媒质,所以有源光缆(AOC)在这种环境下诞生了。有源光缆究竟是什么呢?应用在哪些领域,有什么优势呢?易天将为您解答!有源光缆(Active Optical Cables,简称AOC)是两端装有光收发器件的光纤线缆,主要构成部件分为光路和电路两部分。作为一种高性能计..._aoc 光缆
文章浏览阅读2.2k次。在“桌面”上按快捷键“Ctrl+R”,调出“运行”窗口。接着,在“打开”后的输入框中输入“Gpedit.msc”。并按“确定”按钮。如下图 找到“用户配置”下的“Windows设置”下的“Internet Explorer 维护”的“连接”,双击选择“自动浏览器配置”。如下图 选择“自动启动配置”,并在下面的“自动代理URL”中填写相应的PAC文件地址。如下..._設置proxy腳本